역행렬

실수에 역수가 있듯이, 행렬에도 역수의 개념이 존재한다. 이를 역행렬이라고 한다. 역행렬을 정의해보고, 주요 성질에 대해 알아본다.

정의

정방행렬인 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대하여 다음의 관계를 만족하는 행렬 $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 가 존재할 때,

$\mathbf{BA} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}$

행렬 $\mathbf{A}$ 는 Invertible (가역적) 또는 Non-singular 하다고 말한다. 만약 행렬 $\mathbf{A}$ 가 Invertible하다면, $\mathbf{B}$ 는 유일하게 존재하게 되는데, 이를 $\mathbf{A}$ 의 역행렬이라고 부르고, $\mathbf{A}^{-1}$ 로 표기한다.

명시적 표현

역행렬을 좀더 명시적으로 표현할 수도 있다. 우선 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대한 Adjugate matrix $\text{adj}(\mathbf{A}) \in\mathbb{R}^{n \times n}$ 를 다음과 같이 정의해보자.

$\text{adj}(\mathbf{A}) \equiv \mathbf{C}^\mathsf{T}$

여기서 $\mathbf{C}$ 는 Cofactor matrix 라고 불리는데, 각 원소 $\mathbf{C}_{ij}$ 가 $\mathbf{A}$ 의 cofactor로 이루어진 행렬이다. 즉,

$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & & \mathbf{C}_{1n}\\ & \ddots & \\ \mathbf{C}_{n1} & & \mathbf{C}_{nn} \end{bmatrix}$

$\begin{aligned} \mathbf{A} ~\text{adj}(\mathbf{A}) &= \begin{bmatrix} a_{11} & & a_{1n} \\ & \ddots & \\ a_{n1} & & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & & \mathbf{C}_{n1}\\ & \ddots & \\ \mathbf{C}_{1n} & & \mathbf{C}_{nn} \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} \sum_i \mathbf{C}_{1i} a_{1i} & \cdots & \sum_i \mathbf{C}_{ni} a_{1i}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_i \mathbf{C}_{1i} a_{ni} & \cdots & \sum_i \mathbf{C}_{ni} a_{ni} \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{\det{\mathbf{A}}} & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf{\det{\mathbf{A}}} \end{bmatrix} \\\\ &= (\det{\mathbf{A}}) \mathbf{I} \end{aligned}$

따라서 $\mathbf{A}$ 의 역행렬은 다음과 같이 명시적으로 표현된다.

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{\text{adj}(\mathbf{A})}{\det{\mathbf{A}}}$

$\det\mathbf{A}=0$ 인 경우 역행렬이 정의되지 않음을 알 수 있다.

주요성질

역행렬은 여러가지 유용한 성질을 가지고 있다. 역행렬이 존재하는 행렬 $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 와 임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 및 실수 $\alpha$ ( $\ne 0$ )에 대해서,

정의

명시적 표현

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