추적오차의 통제

# Investment base

BM에 대한 추적오차를 통제해야 할 때가 종종 있다. 특히 기관투자자들에게는 추적오차 관리가 굉장히 중요한 업무인 경우가 많다. 이 포스트에서는 추적오차 통제에 대한 대수적 해법 (Algebraic solution)을 제시하였다. 그리고 이전 포스트에서 제시한 Global Fixed-income Allocation Model (글로벌 채권배분 모형, GFAM)에 적용하여 그 유효성을 검증해보았다.

BM이 US Aggregate 인 경우의 추적오차 통제성능 compare_te_agg

Formulation
Application
- Filtering 효과
- Validation

Formulation

사후적 추적오차(ex-post tracking error)는 말 그대로 이미 발생한 일이고, 사후적인 통제가 불가능하다. 따라서 일반적으로 추적오차를 통제하기 위해서는, 포트폴리오 비중조절 등을 통해 현재 시점에서의 사전적 추적오차(ex-ante tracking error)를 일정 범위 내에서 관리하는 경우가 많다. 하지만 이 경우, 실질적인 평가대상인 사후적 추적오차와의 괴리가 불가피하게 발생하게 된다. 이 포스트의 아이디어는, 사후적 추적오차를 기반으로 사전적 추적오차를 Rolling 업데이트하는 것이다.

아이디어

포트폴리오와 BM간의 비중을 조절하여 사전적 추적오차를 통제할 수 있다.
과거 11개월간의 사후적 추적오차와 향후 1개월에 대한 사전적 추적오차로 Rolling 추적오차를 정의하고, 이 값이 일정수준 이하가 되도록 관리한다. 즉,

Rolling 추적오차 = 사후적(11M) + 사전적(1M) < 목표 추적오차

사전적 추적오차의 통제

우선 사전적 추적오차부터 통제해보자. 미리 정해진 투자전략에 의해 $d$ 개의 종목의 포트폴리오가 주어졌고, BM의 종목별 비중을 알고 있다고 가정한다.

포트폴리오의 각 종목별 투자비중 벡터 $\mathbf{w}_p \in \mathbb{R}^d$
BM의 종목별 비중벡터 $\mathbf{w}_b \in \mathbb{R}^d$

우리는 포트폴리오와 BM 간의 비중조절이 사전적 추적오차 $\mathbf{TE}_f$ 에 어떤 영향을 미치는 지 살펴볼 예정이다.

포트폴리오에 $\eta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ 만큼 투자(이 값을 포트폴리오 전체비중이라고 부르자)하고, 나머지 비중 $1-\eta$ 를 BM에 투자한다면, 최종 포트폴리오 벡터 $\mathbf{w}$ 와 초과비중 벡터 $\mathbf{w}_e$ 는 다음과 같이 결정될 것이다.

$\begin{aligned} \mathbf{w} &= \eta \mathbf{w}_p + (1-\eta) \mathbf{w}_b \\ \mathbf{w}_e &= \mathbf{w} - \mathbf{w}_b = \eta (\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b) \end{aligned}$

따라서 연률화 계수 $\tau \in \mathbb{R}$ 와 공분산 행렬 $\mathbf{\Sigma} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ 에 대해서, 사전적 추적오차 $\mathbf{TF}_f$ 는 다음과 같이 $\eta$ 의 함수로 나타낼 수 있다. (사전적 추적오차에 대한 자세한 설명은 여기를 참고)

$\begin{aligned} \mathbf{TF}_f = \mathbf{TF}_f(\eta) &= \sqrt{\tau ~\mathbf{w}_e^\mathsf{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}_e} \\ &= \eta \sqrt{\tau ~(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b)^\mathsf{T} \mathbf{\Sigma} (\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b)} \\ &= \eta \overline{\mathbf{TE}}_f \end{aligned}$

여기서 $\overline{\mathbf{TE}}_f \equiv \mathbf{TE}_f(1)$ 은 포트폴리오에 100% 투자했을 때(BM에 투자하지 않는 경우, 즉 $\eta=1$ )의 사전적 추적오차를 뜻하며, 최종 포트폴리오가 가질 수 있는 추적오차의 최대값이 된다. 결국 최종 포트폴리오의 사전적 추적오차는 포트폴리오 전체비중 $\eta$ 의 크기에 선형적으로 비례하게 된다.

Algebraic solution

논의를 진행하기 위해서는 다음의 변수들이 필요하다.

연간 총 영업일수 $p$ ( $\approx$ 250)
추적오차의 사전적(ex-ante) 예측일수 $p_f$ ( $\approx$ 20)
Rolling 추적오차 $\mathbf{TE}$
사후적 추적오차 $\mathbf{TE}_h$
사전적 추적오차 $\mathbf{TE}_f$
목표 추적오차 $\mathbf{T}$
Safety buffer $\theta$ ( $0 \le \theta \le 1$ )

여기서 Safety buffer 의 의미는, 추적오차를 좀더 여유있게 관리하기 위해 약간의 Margin을 준 것이라고 이해하면 된다. 예를들어 목표 추적오차가 5%로 주어졌다고 하고, Safety buffer를 80%로 설정한다면, 우리는 Rolling 추적오차를 약 4% (= 5% x 80%) 수준에서 관리하게 되는 것이다.

이제 사전적 추적오차가 $p_f$ 일 만큼 반영된 Rolling 추적오차 $\mathbf{TE}$ 를 다음과 같이 구성해보자.

$\begin{aligned} \mathbf{TE}^2 &= \frac{p-p_f}{p} \mathbf{TE}_h^2 + \frac{p_f}{p} \mathbf{TE}_f^2 \\ &= \frac{p-p_f}{p} \mathbf{TE}_h^2 + \eta^2 \frac{p_f}{p} \overline{\mathbf{TE}}_f^2 \end{aligned}$

우리의 목적은, 다음의 두 가지 제약조건(Constraints)을 만족하는 포트폴리오 전체비중 $\eta$ 의 최대값을 찾는 것이 된다.

$\mathbf{TE} \le \theta \mathbf{T}$

$0 \le \eta \le 1$

이 문제는 본질적으로 최적화 문제(Optimization problem)에 속한다. 하지만 제약조건이 실수 $\eta$ 에 대한 단순 2차함수로 되어 있기 때문에, 다음과 같이 Algebraic solution $\eta^*$ 를 쉽게 구할 수 있다.

$\mathbf{TE}^2 = \frac{p-p_f}{p} \mathbf{TE}_h^2 + \eta^2 \frac{p_f}{p} \overline{\mathbf{TE}}_f^2 \le (\theta \mathbf{T})^2$

$\begin{aligned} \eta^2 p_f \overline{\mathbf{TE}}^2_f &\le p (\theta \mathbf{T})^2 - (p - p_f) \mathbf{TE}_h^2 \\ \eta^2 &\le {p (\theta \mathbf{T})^2 - (p - p_f) \mathbf{TE}_h^2 \over p_f \overline{\mathbf{TE}}^2_f} \end{aligned}$

여기서 $\frac{p (\theta \mathbf{T})^2 - (p - p_f) \mathbf{TE}_h^2}{p_f \overline{\mathbf{TE}}^2_f} ~\overset{\text{let}}{=} ~x$ 로 치환하면,

$\therefore ~\eta^*(x) = \begin{cases} \min \left(\sqrt{x}, 1 \right) & \text{if} ~~x>0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Filtering

위에서 구한 포트폴리오 전체비중 $\eta^*$ 는 두 가지 측면에서 약점이 있다.

$\sqrt{x}$ 가 포함되어 있이기 때문에, $x=0$ 주위에서 $\eta^*$ 가 급격하게 0으로 수렴(위의 차트 참조)한다. 운용 측면에서 보면, 사후적 추적오차 $\mathbf{TE}_h$ 가 다소 큰 상황에서, 포트폴리오 편입/편출의 변동이 과도할 수도 있음을 의미한다.
Rolling 추적오차 $\mathbf{TE}$ 에 사전적 추적오차가 반영되는 비중이 사후적 추적오차에 비해 상대적으로 작기 때문에, 단기적인 변동성 국면에는 다소 취약할 수 있다.

따라서 이들 약점을 일정부분 보완하기 위해, 다음의 Filter를 추가하였다.

Smoothing Filter: $x=0$ 부근에서 포트폴리오 전체비중 $\eta$ 의 변화를 부드럽게 조정
Short-term Alert Filter: 사전적 추적오차가 단기적으로 목표 추적오차를 넘지 않도록, $\eta$ 를 보수적으로 결정

Smoothing Filter $f_o$

$y=\eta^*(x)$ 는 $x=0$ 부근에서 포트폴리오 전체비중 $\eta^*$ 의 변화가 크기 때문에, 실제 운용하는 과정에서 포트폴리오 관리가 매우 불안정해질 가능성이 높다. 이를 보완하기 위해, 어떤 값 $k \in \mathbb{R}$ ( $0\lt k\lt 1$ ) 에서 $\eta^*(x)$ 에 접하는 새로운 지수(Exponential) 함수 $y=g(x)$ 를 설계한다.

$\begin{aligned} g(k) &= \eta^*(k) \\ \frac{d}{dx} g(x) \Big|_{x=k} &= \frac{d}{dx} \eta^*(x) \Big|_{x=k} \end{aligned}$

간단한 수식전개를 통해 $g(x)$ 는 아래와 같이 도출된다.

$g(x) = \sqrt{k} ~\exp{\left( \frac{x}{2k} - \frac{1}{2} \right)}$

따라서 기존의 $\eta^*$ 는 다음과 같이 새로운 비중 $\eta^*_o$ 으로 변환된다.

$\eta^*(x) ~\xrightarrow{f_o} ~\eta^*_o (x) = \begin{cases} \eta^*(x) & \text{if} ~~x>k \\ g(x) & \text{otherwielse} \end{cases}$

이와 같은 변환 $f_o$ 를 Smoothing Filter라고 부르도록 하자.

$k$ 값의 의미

$k$ 값은 $\eta^*_o$ 가 기존(filtering 이전)의 비중 $\eta^*$ 와 얼마나 유사한 지를 나타내는, 일종의 Tuning factor 이다. $k$ 가 0에 가까울 수록 $\eta^*_o \approx \eta^*$ 가 된다. 다음은 $k$ 의 변화에 따른 $\eta^*_o$ 의 형태를 보여주고 있다.

Short-term Alert Filter $f_s$

최근 며칠간 금융시장의 변동성이 급등했다고 가정해보자. Rolling 추적오차 $\mathbf{TE}$ 는 연간 총영업일수 $p$ 를 Rolling 하며 사전적 추적오차의 일부( $p_f$ 일)만을 반영하기 때문에, 최근에 발생한 변동성의 반영은 미미할 것이다. 따라서 변동성이 크게 상승하는 구간에는, 매우 보수적인 관점에서 단기적인 변동성을 감안할 필요성이 생긴다.

우선 $\mathbf{TE}_{fs}$ 를 단기적인 사전적 추적오차라고 정의하고, 다음과 같이 포트폴리오 전체비중 $\eta$ 의 함수로 나타내보자.

$\begin{aligned} \mathbf{TE}_{fs} = \mathbf{TE}_{fs} (\eta) &= \eta \sqrt{\mathbf{w}_e^\mathsf{T} \mathbf{\Sigma}_s \mathbf{w}_e} \\ &= \eta~ \overline{\mathbf{TE}}_{fs} \end{aligned}$

전개과정은 $\mathbf{TE}_f$ 과 완전히 동일하다. $\mathbf{\Sigma}$ 가 Short-term 공분산 행렬 $\mathbf{\Sigma}_s$ 로 바뀌었을 뿐이다. $\mathbf{\Sigma}_s$ 는 EWM (Exponentially Weighted Moving Method)를 써도 되고, 가장 최근의 수익률 데이터를 활용한 샘플 공분산 행렬 를 써도 큰 상관은 없다. 참고로 이 포스트에서는, $\mathbf{\Sigma}$ 는 12개월 샘플 공분산 행렬, $\mathbf{\Sigma}_s$ 는 1개월 샘플 공분산 행렬을 쓰고 있다. 그리고 마찬가지로 $\overline{\mathbf{TE}}_{fs} \equiv \mathbf{TE}_{fs}(1)$ 는 단기적인 사전적 추적오차의 최대값이 된다.

단기적인 사전적 추적오차 $\mathbf{TE}_{fs}$ 가 다음의 제약조건을 만족한다고 해보자.

$\mathbf{TE}_{fs} \le \theta \mathbf{T}$

$0 \le \eta \le 1$

마찬가지로 우리는 위의 제약조건을 만족하는 $\eta$ 중 최대값을 찾을 것이고, 이는 다음과 같이 쉽게 도출된다.

$\bar\eta = \frac{\theta \mathbf{T}}{\overline{\mathbf{TE}}_{fs}}$

변동성이 급등하는 구간에서 단기적인 사전적 추적오차의 최대값 $\overline{\mathbf{TE}}_{fs}$ 는 꽤나 큰 값일 것이므로, $\bar\eta$ 는 다소 보수적인 비중으로 해석된다. 우리는 $\bar\eta$ 보다 더 작은 값으로 포트폴리오 전체비중을 결정할 것이다.

이제 기존의 포트폴리오 전체비중 $\eta^*_o$ (즉, 이전 단계에서 $\eta^*$ 에 Smoothing Filter $f_o$ 가 적용된 값)은 다음과 같이 새로운 비중 $\eta^*_s$ 으로 변환된다. 이러한 변환을 Short-term Alert Filter $f_s$ 라고 하자.

$\eta^*_o(x) ~\xrightarrow{f_s} ~\eta^*_s (x) = \min \left( \eta^*_o(x), ~\bar\eta \right)$

Final Solution

이제까지 전개한 것을 종합해보자. 최종비중은 $\eta^*_s$ 가 된다.

$\eta^*(x) ~\xrightarrow{f_o} ~\eta^*_o (x) ~\xrightarrow{f_s} ~\eta^*_s (x)$

여기서,

$\begin{aligned} x &= \frac{p (\theta \mathbf{T})^2 - (p - p_f) \mathbf{TE}_h^2}{p_f \overline{\mathbf{TE}}^2_f} \\\\ \bar\eta &= \frac{\theta \mathbf{T}}{\overline{\mathbf{TE}}_{fs}} \\\\ g(x) &= \sqrt{k} ~\exp{\left( \frac{x}{2k} - \frac{1}{2} \right)} \\\\ \eta^*(x) &= \begin{cases} \min \left(\sqrt{x}, 1 \right) & \text{if} ~~x>0 \\ 0 & \text{otherwielse} \end{cases} \\\\ \eta^*_o (x) &= \begin{cases} \eta^*(x) & \text{if} ~~x>k \\ g(x) & \text{otherwielse} \end{cases} \\\\ \eta^*_s (x) &= \min \left( \eta^*_o(x), ~\bar\eta \right) \end{aligned}$

Application

이제까지 셋업한 추적오차 통제 방법론을 실제 포트폴리오 전략에 적용해보자. 이 포스트에서는 모멘텀 기반의 글로벌 채권배분 전략인 GFAM (Global Fixed-income Allocation Model)에 적용해보았다. 아래 백테스트에서 공통적으로 사용하고 있는 설정들은 다음과 같다.

연간 총 영업일수 $p=250$
추적오차의 사전적 예측일수 $p_f=20$
Safety buffer $\theta=0.8$
$k=0.3$
$\mathbf{\Sigma}$ : 12개월 샘플 공분산 행렬
$\mathbf{\Sigma}_s$ : 1개월 샘플 공분산 행렬

Filtering 효과

우선 이 포스트에서 설계한 두 가지 Filter들의 효과를 확인해보자. GFAM에 목표 추적오차 $\mathbf{T}$ =3% 로 백테스트 하였고, Smoothing Filter와 Short-term Alert Filter를 차례로 추가 적용하였다. BM은 AGG (US Aggregate bond ETF) 로 하였다. 아래 오른쪽 차트는 사후적(1년) 추적오차를 측정한 것이다.

기본 GFAM ( $\mathbf{T}$ =3%, 회색): 백테스트 전체 구간에서 사후적 추적오차가 0 수준으로 크게 하락하는 구간(Downside spike)이 몇 개 존재하는 것을 알 수 있다. Default solution인 $\eta^*$ 가 $x=0$ 근처에서 급등락하면서, 포트폴리오 전체 편출입의 속도가 과도했기 때문이다.
GFAM + Smoothing ( $\mathbf{T}$ =3% + $f_o$ , 노랑): Smoothing Filter의 적용으로 Downside spike는 대부분 제거되었다. 하지만 2008-2009년 변동성 급등구간에서 사후적 추적오차가 통제권을 벗어나는 일이 여전히 발생하고 있다.
GFAM + Smoothing + Short-term Alert ( $\mathbf{T}$ =3% + $f_o$ + $f_s$ , 빨강): Short-term Alert Filter의 적용으로, 변동성 구간에서 사후적 추적오차가 크게 상승하는 것을 일부 개선하였다.

Validation

여러가지 목표 추적오차에 대해서, 추적오차 통제가 제대로 되는 지를 확인한다. Smoothing Filter와 Short-term Alert Filter를 모두 적용하였다. 아래의 각 투자지표에 대해서는 투자성과의 측정을 참고한다.

공통적으로 다음을 알 수 있다.

목표 추적오차가 작아질 수록 포트폴리오 투자비중 $\eta$ 가 작아지고, 투자전략의 누적수익률이 BM에 가까워진다. (당연한 얘기다)
목표 추적오차가 대부분 통제범위 안에 있다. 하지만 완벽하다고 볼 수는 없다.
목표 추적오차가 작을 수록 평균손익비(Profit-to-loss)는 커지고, 1년 손실가능성(Loss probability)는 소폭 작아지는 경향이 있다.

[CASE 1] BM = AGG (US Aggregate bond)

[CASE 2] BM = HYG (US High yield bond)

[CASE 3] BM = ACWI (MSCI All country)

Written on May 20th, 2018 by quanty

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